تعریف علم ریاضیات

ریاضیات

1. تعریف ریاضیات

معنای لغوی ریاضی عبارت است از: 1. تحمل رنج و تَعَب برای تهذیب نفس و تربیت خود یا دیگری، 2. تمرین و ممارست، 3. کوشش و سعی، 4. گوشهنشینی. اما ریاضی در اصطلاح به فن محاسبه اعداد گفته میشود و نیز علمی است که قدما آن را یکی از شاخه‌های حکمت نظری به حساب میآوردند که اصول آن شامل هندسه، علم عدد، علم نجوم و علم تألیف بود و از فروعی تشکیل میشد شامل علم مناظر و مرایا، علم جبر و مقابله، علم جراثقال، علم نیرنجات (علم الحِیَل) و مانند آن.

اخوان الصفا در قرن چهارم هجری علوم فلسفی را چهار نوع دانستند: اول ریاضیات؛ دوم منطقیات؛ سوم علوم طبیعیات؛ چهارم علومالاهیات و ریاضیات مشتمل بر چهار نوع: ارثماطیقی (حساب)، جِئومطریا (علم هندسه)، اسطرنومیا (علم نجوم)، و موسیقی. موسیقی شناختن نواها و هماهنگی اصوات است که از طریق آن، اصولالحان استخراج میشود. اسطرنومیا علم ستارگان است از طریق برهانهایی که در کتاب المجسطی آمده است. جومطریا علم هندسه است از طریق برهانهایی که در کتاب اقلیدس آمده است. ارثماطیقی شناخت خواص اعداد است و شناخت آن معانی موجودات که با این اعداد مطابق است و فیثاغورس و نیکوماخوس از آنها یاد کرده‌اند.

در تعریف امروزی، ریاضیات دانشی است که در آن معقولات ثانی ریاضی بحث میشود. مراد از معقولات ثانی ریاضی، مفاهیم درجه دومی است که در حوزه کمیت و مقدار و بر اساس آن شکل میگیرند، از قبیل عدد، مجموعه، بعد، پیوستگی، شکل. به بیان دیگر، ریاضیات از معقولات ثانی ریاضی و مشتقات، قیود، ملحقات و منتزعات آنها بحث میکند و در این تعریف ریاضیات علمی است که غرض آن درک مقادیر است و بر حساب و جبر و مقابله و مساحت (هندسه) اطلاق میشود. مرکز اصلی علم اعداد و حساب هندوستان بوده و منابع اصلی علم جبر از بین‌النهرین و مآخذ هندی و یونانی تشکیل میشده است. علم هندسه از منابع یونانی اخذ شده و علم مثلثات به دست توانایی ریاضیدانان ایرانی هویت مستقل یافته است. ایرانیان علم هندسه را با جبر تلفیق کردند و در راه رسیدن به دانشی ترکیبی؛ یعنی هندسه تحلیلی گام برداشتند.

2. تاریخچه ریاضیات

«جهان کتابی است که در برابر چشمان ما گشوده شده است ولی تنها زمانی میتوان آن را درک کرد که با زبان و نشانه‌های آن آشنا باشیم این زبان، ریاضیات و این نشانه ها مثلثها، دایره ها، و سایر شکلهای هندسیاند» (از سخنان گالیله)

موفقیتهایی که در زمینه ریاضی به دست آمده است بیش از همه به مصر و بهخصوص به بابل قدیم تعلق دارد. از همان آغاز تاریخ مدون مصر، علوم ریاضی در آن سرزمین پیشرفته بوده، دلیل آن این است که کشیدن نقشه اهرام و ساختن آنها محتاج اندازهگیری دقیقی بود که جز با داشتن اطلاعات وسیع در ریاضی میسر نمیشد. وابستگی زندگی عمومی مردم مصر به بالا آمدن و فرونشستن آب نیل، مستلزم آن بوده است که بتوانند اندازه بالا آمدن و پایین رفتن آب را اندازه بگیرند و حساب دقیق آن را داشته باشند. زمین پیمایان و نویسندگان، پیوسته ناچار بودند که زمینهایی را که آب فرا میگرفت و حدود آن را محو میکرد، اندازهگیری و پیمایش کنند و حدود جدید آنها را معین سازند، شک نیست که همین اندازهگیری مبنای پیدایش علم هندسه بوده است. بابلیها مردمی تجارت پیشه بودند و بازرگانی ضرورت ریاضیات را پدید آورد. علم ریاضی، اسباب پیدایش علم نجوم را فراهم کرد. کاهنان بین‌النهرین، با وظایفی که بر عهده داشتند از قبیل قضاوت، اداره امور مردم، تأمین وسایل مالی کشاورزی و صناعت، غیبگویی، کارشناسی در مشاهده ستارگان و احشای جانوران، شالوده علومی را ریختند که بعدها به دست یونانیان گسترش یافت.

با حضور دانشمندان یونانی اطلاعات ریاضی جنبه علمی به خود گرفت. یونانیان احکام ریاضی را، به جای تجربه، بر استدلال منطقی استوار کردند. یونانیان در هندسه تبحر داشتند، اما در ایجاد علوم حساب، جبر و مثلثات نیز گامهایی برداشتند. مهمترین مرکز ریاضی در یونان اسکندریه بود که در آنجا اقلیدس، آپولونیوس، و بعدا" هرون، بطلمیوس، کلودیوس و دیوفانتوس فعالیت کردند. ارشمیدس هم رابطه جدی با دانشمندان اسکندریه داشت او به همه شعب ریاضی پرداخت و چند رشته ریاضی را پایهگذاری کرد. او علم استاتیک را ابداع و اعداد یونانی را تکمیل کرد.

در این دوران، رشد ریاضیات در هند ادامه داشت، اما ریاضیدانهای هندی با آنکه در محاسبه ممارست داشتند رغبتی به مفهوم روش استدلالی دقیق یونانی نشان نمیدادند.

در مقابل، مسلمانان در قرنهای هفتم و هشتم میلادی میراث یونانیان و هندیان و مصریان و بابلیان را حفظ و کتابهای آنان را ترجمه کردند. بدینترتیب، اطلاعاتی که مسلمانان در زمینه ریاضیات از هندیان گرفتند، عمدتآ از طریق مجموعه هایی بود که به نام سیدهانته یا سِدهانته خوانده میشدند و مسلمانان هر یک از آنها را سند هند میخواندند. مهمترین سند هند، هم از لحاظ ریاضی و هم از جنبه نجومی، براهمه شپهُط سیدهانته تألیف برهâما گوپâتا و اَرِیَبâهطِیَه تألیف اَرِیَبâهَطَ است که از روی سیدهانته‌های قدیمتر فراهم آمده بود. منابع یونانی هم شامل آثار عمده ریاضیدانان یونانی بود، همچون کتابهای اصول اقلیدس؛ قطوع مخروطی و قطع خطوط و سطوح بر نسبت معین از آپولونیوس؛ کتاب مدخل حساب نیکوماخوس؛ همراه با آثار هرون و تئون و ریاضیدانان و شارحان مهم دیگر اسکندرانی. ارشمیدس اهمیت خاصی در ریاضیات اسلامی دارد که تقریبآ همه آثار او همچون کره و دایره و اندازهگیری دایره و تعادل سطوح و اجسام شناور به عربی ترجمه شد.

بنابراین، به یقین میتوان گفت که مسلمانان تقریبآ تمام اندیشه‌های مهم ریاضی را که در بین‌النهرین قدیم و مصر و یونان و نیز در ایران و هند پیدا شده بود کسب کردند و این میراث عظیم، شالودهای برای گسترش ریاضیات در اسلام شد.

3. ریاضیات در تمدن اسلامی

ریاضیات در تمدن اسلامی با شاخه هایی، مثل نجوم، حساب، جبر و هندسه امتزاج یافته است و این امتزاج نه فقط در تمدن اسلام که در غالب مکاتب کهن در هند و بابل نیز وجود داشته است. تمدن اسلامی از قرن دوم هجری به بعد زمینهای برای تلاقی و ترکیب فرهنگهای گوناگون پدید آورد. در مورد علم ریاضیات با ترجمه آثار ریاضی و نجومی هندی و متون یونانی این تلاقی و ترکیب پدیدار شد. همچنین، علاوه بر تأثیر معارف خارجی، سنتهای ایرانی، بابلی، سومری و کلدانی که از قبل در این منطقه وجود داشت، بر یکدیگر تأثیرگذار بودند. در انتقال روشهای یونانی و هندی به جامعه اسلامی خلفای عباسی و مترجمان نقش عمدهای داشتند. در زمان حکمرانی منصور عباسی (136ـ 158 ق)، آثار برهما گوپتا به بغداد آورده شد و با حمایت او به عربی ترجمه شد. در زمان هارون عباسی خلیفه بعدی بسیاری از آثار کلاسیک علمی یونان به عربی برگردانده شد. همچنین در عهد حکومت او معارف هندی در بغداد نفوذ بیشتری یافت. مأمون (193ـ 218 ق) پسر هارونالرشید با ایجاد مؤسسهای برای ترجمه و تحقیق، معروف به «بیتالحکمه»، پیشرفت فعالیتهای علمی را تسریع کرد. او رصدخانهای در بغداد ساخت و مسئولیت اندازهگیری نصفالنهار زمین را به آنجا سپرد. مهمترین کتابهای ریاضیات که در زمان عباسیان به عربی ترجمه شدند از این قرارند:

1. کتابهای اقلیدس :اصول هندسه ترجمه حجاج بن مطّر. این کتاب یک بار در زمان هارون به قلم حجاج بن مطر به نام هارونی ترجمه شد و بار دیگر در زمان مأمون به دست اسحاق بن حنین ترجمه شد و ثابت بنقره آن را اصلاح کرد. همچنین ابوعثمان دمشقی نیز آن را ترجمه کرده است. کتاب الظاهرات، اختلاف مناظر، کتاب الموسیقی، کتاب القسمه، کتاب القانون، الثقل و الخفه (کتاب سنگینی و سبکی) از تألیفات اقلیدس به عربی ترجمه شدند ولی نام مترجم آنها معلوم نیست.

2. کتابهای ارشمیدس: مجموع آنها ده کتاب است که از یونانی به عربی ترجمه شده ولی مترجم آن معلوم نیست.

3. کتابهای آپولونیوس :کتاب المخروطات، قطعالسطوح، قطعالخطوط، النسبه، المحدوده، الدوائرالماسه به عربی ترجمه شده، اما مترجم آن معلوم نیست.

4. کتابهای منالاوس :کتاب الاشکال الکُرویه، و کتاب اصول هندسه، را ثابت بن قره به عربی ترجمه کرد.

5. کتابهای بطلمیوس قلوذی: کتاب مجسطی را یحیی برمکی تفسیر کرده است. و کتابهای چهارگانه بطلمیوس که ابراهیم بن حلت آن را ترجمه و حنین بن اسحاق آن را اصلاح کرد.

6. کتاب جبر معروف به حدود و کتاب قسمهالاعداد از تألیفات ابرخس که به عربی ترجمه شد، اما مترجم آن معلوم نیست.

7. کتاب جبر تألیف ذیوفنطس که به عربی ترجمه شده و مترجم آن معلوم نیست.

ابن ندیم در کتاب الفهرست کتب ذیل را که به عربی ترجمه شده بدون ذکر مترجم نام برده است.

کتاب العمل بالاسطرلاب المسطح تألیف ابیون بطریق؛ کتاب جرم الشمس و القمر تألیف ارسطرفس، کتابالعمل بذات الحلق، کتاب جداول زیج بطلمیوس المعروف بالقانون المسیر تألیف ثاون اسکندری، کتاب العمل بالاسطرلاب.

کتابهای موسیقی زیر نیز، در دوره نهضت عباسیان، از یونانی به عربی برگردانده شدند:

کتاب الموسیقی الکبیر تألیف نیکوماخوس، کتاب موسیقی منتسب به اقلیدس، کتاب الریموس و کتاب الایقاع تألیف اَرِسâطُکاس، مقالات موسیقی تألیف فیثاغورس، کتاب آله مصوته مشهور به الارغنن البوقی و کتاب الارغنن الزمری تألیف مورطس. همچنین مسلمانان در علم هیئت و ریاضیات از تألیفات دانشمندان هندی بسیار بهرهمند شدند. منصور عباسی دستور داده بود که زیج سند هند را به عربی ترجمه کنند و نقل و ترجمه این زیج تأثیر مهمی بر دانشمندان مسلمان گذاشت و آنان را بیش از پیش با علم هیئت آشنا کرد. بسیاری از دانشمندان مسلمان از آن کتاب تقلید کردند و بر مبنای آن کتابهایی نوشتند. مثلا" محمد بن ابراهیم فزاری، حبیش بن عبدالله بغدادی و محمد بن موسی خوارزمی کتابهای خود را بر اساس سند هند تألیف کردند.

در مجموع، ترجمه‌های هندی و یونانی به عربی و نیز فراهم بودن فضای علوم عقلی در زمان برخی از خلفای عباسی سبب شد ریاضیات مراحل تکامل و ترقی را طی کند و ریاضیدانان بزرگی را به جهان اسلام و دنیا عرضه نماید.

4. ریاضیدانهای مسلمان

برای آشنایی اجمالی با طرز عمل و ابتکارات مسلمانان در علوم ریاضی به معرفی ریاضیدانهای برجسته مسلمان میپردازیم.

تاریخ ریاضی در جهان اسلام، به تعبیری، با نام محمد بن موسی خوارزمی (متونی 232 ق) آغاز میشود. خوارزمی یکی از ریاضیدانان و ستارهشناسان مرکز فرهنگی مأمون در بغداد به نام بیتالحکمه بود. تبحر عمده او در چهار زمینه حساب، جبر، جغرافیا و نجوم بود. در حساب و نجوم روشهای هندی را به عالم اسلامی شناساند. مهمترین کتاب او در ریاضی کتاب المختصر فیحساب الجبر و المقابله است. از آثار دیگر خوارزمی میتوان به زیج اول و زیج دوم، صورهالارض یا رسم افریقیه و عمل الاسطرلاب اشاره کرد. خوارزمی همچنین کتابی تألیف کرد و جداول خاصی را در حساب مثلثات و سطوح فلکی محاسبه کرد. کتابهای خوارزمی را کسانی چون یوحنا اسپانی، الفرد ناگل، فردریک روزان، یولیوس روسکا، ژراردوی کرمونایی، روبرت تشتر و ادیلاردری باث بارها به لاتین ترجمه کردند. اروپاییان خوارزمی را «الگریزم» خطاب میکردند.

بجز خوارزمی، در قرن سوم، از کندی، نخستین فیلسوف اسلامی، باید نام برد که ریاضیدان شایستهای نیز بود و تقریبآ در هر یک از شاخه‌های این علم رساله هایی تألیف کرد. شاگرد او، احمد سرخسی بود که بیشتر به سبب آثار جغرافیایی و موسیقیایی و احکام نجومی خود شهرت دارد. پس از او ماهانی کار تکمیل جبر را ادامه داد و در رساله درباره نسبتها کوشش کرد که نظریه کلی و مشکل نسبتها را در کتاب پنجم مقدمات روشن کند. سه پسر شاکربن موسی، محمد و احمد و حسن، که به بنو موسی شهرت یافتند، هر سه ریاضیدان بودند، احمد علاوه بر آن فیزیکدان قابلی بود، اثری نیز درباره اندازهگیری سطوح مسطح و کرویّت نوشت که این اثر را ژراردوی کرمونایی به لاتینی برگرداند. فرغانی و ابومعشر بلخی دو تن از دانشمندان سرشناس بودند. از آثار فرغانی باید به اختصار المجسطی و کتابی در حرکات سماویه و جوامع علم نجوم و مهمتر از همه، کتاب اصول الفلک اشاره کرد. کتاب اصولالفلک را دانتی یجییری و ژاکوب جولیوس به لاتین ترجمه کردند. ابومعشر بلخی نیز از منجمان معروف بود. ازجمله کتابهای او اثبات العلوم و هیئهالفلک را باید نام برد که آن را یوهانس هیسپالنسیس و اد لارد به لاتین ترجمه کردند.

از ریاضیدانان قرن چهارم هجری باید از نیریزی، بتّانی، بوزجانی، ابن هیثم، ابوسهل کوهی، ابن سینا، بیرونی و گیلانی نیز یاد کرد.

نیریزی بر ده کتاب اول مقدمات اقلیدس شرحی نوشت. شهرت بوزجانی به سبب ترجمه آثار دیوفانتوس، معرفی تابع تانژانت به عالم مثلثات و محاسبه جدولی از سینوسها و کسینوسها برای فواصلی به طول 15 درجه است. از آثار موجود ریاضی بوزجانی میتوان از کتاب مایحتاج الیه الکتاب و العمال من علم الحساب و کتاب فی مایحتاج الیه الصانع من اعمال الهندسه نام برد که کتاب حساب او را وپکه به زبان فرانسوی ترجمه کرد. اثر معروف بتانی، منجم معروف سوریه، رساله تکمیل المجسطی است که در آن نه تنها سینوس و کسینوس، تانژانت و کتانژانت در نظر گرفته شده، بلکه سکانت و کسکانت و حتی بسیاری از ارتباطات آنها نیز بررسی شده است. ابن هیثم بسیاری از کتابهای ارسطو را خلاصه کرد و شرح داد و نیز کتابهای جالینوس را تنقیح کرد. ابوسهل کوهی از دانشمندانی است که اهتمام ویژهای به مسائل فلکی و مشکلهای ریاضی (حساب مثلثات فنی) داشت و رئیس رصدخانهای بود که آل بویه در بغداد تأسیس کرده بودند. او یکی از برجستهترین علمای جبر اسلامی است که تحقیق کاملی در معادلات سه جملهای درجه دوم کرده بود. ابن سینا را نیز باید ریاضیدانی دانست که در این دوره شکوفا شد. ابن سینا همانند فارابی، نظریه موسیقی ایرانی زمان خود را تکمیل کرد و همین موسیقی است که همچون سنتی زنده تا زمان حاضر باقی مانده است. ابن سینا کتابهایی از مجموعه بزرگ شفا را به روشهای ریاضی اختصاص داده است. ابن سینا همزمان با بیرونی بود و بیرونی چند تألیف ریاضی و نجومی بر جای گذاشت. کتاب سوم قانون مسعودی بیرونی در باب مثلثاتِ مسطحه و کروی اختصاص یافته و بیرونی در کتاب التفهیم مطالبی چند درباره ریاضیات مرتبط با مسائل نجومی گنجاند و اثر مهم دیگر بیرونی آثار الباقیه عن القرون الخالیه نیز بحثهای جامعی درباره قواعد هندسی در باب صناعت تسطیح دارد. گیلانی یکی دیگر از دانشمندان ریاضی و فلکی بود که کتابی به نام المدخل فی صناعه احکام النجوم تألیف کرد و زیج او به آلمانی نیز ترجمه شد.

ابوبکر کرجی و ابوالحسن نسوی و غیاثالدین عمر خیام از ریاضیدانان قرن پنجم هجری بودند. ابوبکر کرجی کتاب الکافی را در علم حساب نوشت و در آن بدون به کارگیری ارقام هندسی به حل علم حساب پرداخت. او کتابت حروف را به جای ارقام نهاده است. هوفهایم کتاب او را ترجمه کرده است. همچنین کرجی کتابی دیگر به نام الفخری دارد.

ابوالحسن نسوی، در ریاضیات و نجوم و آراءفلکی و علوم متداول زمان خود شهرت بسزایی داشت. کتاب المقنع فیالحساب الهندی از آثار اوست که وپکه آن را تحلیل کرده است. در این کتاب عملیات اصلی جمع و تفریق و ضرب و تقسیم و استخراج جذر و کعب آورده شده است. نسوی در این کتاب برای گرفتن ریشه اعداد از کسرهای با مخرج 10 استفاده کرده است.

عمر خیام نیشابوری را بیشتر به سبب رباعیاتش میشناسند. رباعیات او به زبانهای متعدد ازجمله به دست ادوارد فیتزجرالد به انگلیسی ترجمه شده است. با وجود این سهم وی در علوم ریاضی و نجوم در صدر قرار دارد. خیام در علوم ریاضی تألیفات متعددی دارد از جمله: 1. مقاله فی الجبر و المقابله که وپکه در سال 1851 و بعد از او چند تن دیگر آن را به لاتین ترجمه کردند، 2. رساله فی قسمه ربعالدائره که امیر معز آن را در سال 1961 به انگلیسی و کراسنوا و روزنفلد به روسی ترجمه کردند، 3. رساله فی شرح ما اشکل من مصادرات اقلیدس، 4. مشکلات الحساب. خیام معادلات را تا درجه سوم بررسی کرده آنها را طبقهبندی و حل کرده است. خیام در ستارهشناسی نیز دانشمندی بنام بود و در تأسیس رصدخانه اصفهان و نیز تدوین تقویم خیامی (جلالی) تأثیر اساسی داشت.

در قرن هفتم هجری خواجه نصیرالدین طوس از برجستگان است. او در عصر مغولان رصدخانهای در مراغه تأسیس کرد و به کار تحقیق در حکمت طبیعی مثل ریاضی و نجوم و هندسه اشتغال ورزید. در همین رصدخانه بود که زیج ایلخانی تدوین شد و با نظارت طوسی تقریبآ همه آثار کلاسیک ریاضی یونانی به عربی ترجمه شد. برخی کتابهای ریاضی خواجه نصیر عبارت است از 1. کتاب کشف القناع عن اسرار شکل القطاع، این کتاب را اسکندر پاشا کاراتئو دری در سال 1891 به زبان فرانسوی ترجمه کرد، 2. جوامع الحساب بالتخت و التراب. این کتاب در سال 1963 به زبان روسی برگردانده شد. .3 الرساله الشافیه عن الشک فی الخطوط المتوازیه این رساله را در سال 1960 روزنفلد به روسی برگرداند، 4. تحریر اصول اقلیدس، 5. تحریر کتاب الکره و الاسطوانه الارشمیدس.

ابن بناءمراکشی در قرن هشتم هجری برداشت تازهای از علم اعداد عرضه کرد و نزدیک به هفتاد رساله در همه شاخه‌های ریاضیات تألیف کرد که مهمترین آنها تلخیص اعمال الحساب از بهترین آثار اسلامی در موضوع خود است. کتاب تلخیص اعمال الحساب را اریستید مار ترجمه کرد و در جلد هفدهم انتشارات فرهنگستان جدید لینچئی در سال 1864 منتشر ساخت.

چهره تابناک دیگر در تاریخ علم ریاضی الغ بیگ (حکومت: 850ـ853 ق)، نوه تیمور، است. او در سمرقند سلطنت میکرد و شوق مفرطی به علم هیئت داشت و کتابی را در نجوم معروف به زیج الغبیگ منتشر ساخت. قسمت اول این کتاب مشتمل است بر تقسیم اوقات، تقویم، مسائل اساسی علم هیئت و در قسمت دوم بحث از هیئت عملی، محاسبه کسوف و خسوف، ترتیب جداول و طریق استعمال آنهاست. بالاخره همین علم (علم احکام نجوم) سبب مرگ الغبیگ گردید.

در قرن نهم غیاثالدین جمشید کاشانی در محاسبه و نظریه اعداد بزرگترین ریاضیدان اسلامی است. او کاشف حقیقی کسر اعشاری بود و رقم صحیحی از عدد پی (p) را به دست آورد. کاشانی در سمرقند دایرهالمعارف ریاضی خود را به نام مفتاحالحساب نوشت و در تنظیم جداول جدید نجومی گورکانی شرکت کرد. کتاب مفتاح الحساب را وپکه در سال 1864 به زبان فرانسوی ترجمه کرد.

در همان قرن بعد از کشته شدن الغبیگ، علاءالدین علی قوشچی ریاضیدان اهل سمرقند به اسلامبول رفت و نوشته‌های با ارزشی از مکتب الغبیگ را به همراه خود برد در استانبول کتاب محمدیه را به سلطان محمد عثمانی تقدیم کرد. در این کتاب که بر مبنای مفتاحالحساب کاشانی نوشته شده برای اولین بار اصطلاحات «منفی» و «مثبت» به کار رفته است.

تجدید حیات دوره صفویه در ایران، آخرین مرحله فعالیت نسبتآ گستردهای در زمینه ریاضیات به شمار میرود ولی آگاهی جهان خارجی از کارهای این دوره بسیار ناچیز است. معماران و مهندسان مدارس و مساجد و پلهای این دوره همه ریاضیدانان قابلی بودند. معروفترین چهره ریاضی قرن دهم بهاءالدین عاملی است. تألیفات ریاضی وی در واقع تلخیص و تحریری از آثار استادان سَلَف بوده است.

یکی از معاصران او به نام ملامحمد باقر یزدی، مطالعات و تحقیقات اصیل و ابتکاری در ریاضیات داشته است.

5. جایگاه ریاضیات در تقسیم بندی علوم

برای یونانیان، ریاضیات علمی بوده که به حد کمال رسیده بود، زیرا به قول ارسطو: علمی که دارای انگیزه خارجی نباشد بر دیگر علوم برتری دارد. ارسطو بر آن بود که باید کوشش کنیم تا از عوالم ظاهر گذشته و خود را برای حل مسائلی که فوق تجربه قرار گرفته‌اند آماده سازیم. نظر وی این بود که علم فقط به کلیات تعلق دارد. ارسطو فلسفه را به سه قسمت: فلسفه نظری، فلسفه عملی و فلسفه شعری تقسیم کرده بود. فلسفه نظری هم سه قسمت میشد: حکمت سفلی (طبیعیات)، حکمت وسطی (ریاضیات) و حکمت اولی (الاهیات) و بدینترتیب ریاضیات را حد وسط طبیعیات و الاهیات میدانست.

دانشمندان اسلامی نیز، در ردهبندی دانشها و تعیین مرتبه هر یک سهمی یتام داشته‌اند. یکی از کارهای عمده مسلمانان در این مقوله، تألیف ابونصر محمد فارابی است؛ یعنی کتاب احصاءالعلوم. گفته‌اند این کتاب راهنمای متفکران غربی در تقسیم علوم بوده است و کتاب تقسیم فلسفه گوندیسالینوس، از احصاءالعلوم اقتباس شده یا به گفتهای، شامل همان مطالب احصاءالعلوم است.

فارابی در احصاءالعلوم، علوم را به پنج دسته تقسیم کرد. علم زبان، علم منطق، علم طبیعی و علم الاهی، علم مدنی شامل فقه و کلام، و علم تعالیم. او سپس، علم تعالیم را به هفت نوع دستهبندی کرد: علم عدد، علم هندسه، علم مناظر، علم نجوم، علم موسیقی، علم اثقال و علم جبل.

چند قرن بعد، ابن خلدون در مقدمه خود علوم را به دو دسته بزرگ فلسفی ــ عقلی و نقلی ــ وضعی تقسیم کرد. او علوم عقلی را بر چهار نوع دانست: منطق، علوم طبیعی، علوم مابعد الطبیعی و علوم مقادیر یا تعالیم و در آخر، ابن خلدون علوم مقادیر یا تعالیم را به چهار بخش هندسه، حساب، موسیقی و نجوم و احکام نجوم تقسیم کرد.

متفکران مسلمان معاصر نیز در مورد تقسیمبندی علوم دیدگاه هایی دارند مثلا" علامه طباطبایی بر این نظر است که میتوان علوم را به برهانی و غیربرهانی تقسیم کرد. علوم برهانی علومی هستند که از روش قیاسی سود برده و بر اساس مقدمات یقینی، نتیجه یقینی به دست میآورند. علوم غیربرهانی نیز علومی هستند که از طریق غیرقیاس یقینی حاصل میشوند در این تقسیمبندی ریاضیات جزو علوم برهانی است.

برخی از معاصران بر این نظرند که اگر بخواهیم به طبقهبندی جامعتری در باب علوم دست یابیم بهتر است علوم را بر اساس دو پایه زیر دستهبندی کنیم:

1. طبقهبندی علوم بر اساس روش بحث و شیوه بررسی و اثبات مسائل آن.

2. طبقهبندی علوم بر پایه طبیعت مسائل مورد بحث آن.

در طبقهبندی بر پایه روش بحث میتوان علوم را به چهار نوع تقسیم کرد:

الف) علوم استقرایی، علومی که شیوه بحث در آنها مشاهده، تجربه و آزمایش است.

ب) علوم عقلی که روش بحث در آنها استدلالهای صرفآ عقلی و منطقی است.

ج ) علوم وجدانی و ذوقی.

د) علوم مختلط که بیش از یکی از روشهای فوق در آنها به کار گرفته میشود.

در طبقه بندی بر پایه طبیعت مسائل میتوان علوم را به دو دسته تقسیم کرد:

1. علوم اعتباری که مسائل آن صرفآ اعتباری و قراردادی است و خارج از ظرف اعتبار و قرارداد واقعیتی ندارند.

2. علوم حقیقی که مسائل آنها قطع نظر از هر واضع و اعتبارکنندهای، واقعیت دارد و به چهار دسته تقسیم میشوند: علوم طبیعی، علوم اجتماعی، حکمت نظری، حکمت عملی.

بر اساس تقسیمبندی فوق، ریاضیات در تقسیم اول جزو علوم عقلی و در تقسیم دوم جزو علوم حقیقی و شاخه حکمت نظری است.

6. علوم ریاضی در اسلام

علوم ریاضی در اسلام تقریبآ به همان دسته هایی بخش میشده که در اروپا تقسیم میکرده‌اند. با این تفاوت که در عالم اسلام علم مناظر و علم مکانیک را نیز افزوده‌اند. ریاضیات شامل حساب، هندسه، نجوم و موسیقی بوده است و اغلب دانشمندان و فیلسوفان مسلمان این هر چهار علم را فرا میگرفتند.

الف) حساب :در مورد خاستگاه حساب اتفاقنظر وجود ندارد برخی از پژوهندگان سرزمین هند را زادگاه حساب میدانند و معتقدند که اعداد نام نهاده «عربی» در هند پیدا شدند و مردی به نام کَنâکه، در زمان منصور خلیفه عباسی، آن را به شرق آورد. کنکه کتاب سند هند را با خویش از هند آورد و این کتاب را براهماگوپتا در حدود 628 میلادی تألیف کرد. سند هند به طور کلی، کتابی در نجوم بود و در آن براهماگوپتا طریقه محاسبه با اعداد از 1 تا 9 و صفر را شرح داده بود. کتاب سند هند به خواست منصور و به قلم محمد بن ابراهیم فزاری به عربی برگردانده شد. از بزرگترین مفاخر تمدن اسلام در حساب ابوجعفر خوارزمی است که کتابی درباره ارقام هندی نگاشت حسابدانان مسلمان عملی را که معروف به طرح 9 به 9 است ارائه دادند، که برای امتحان کردن محاسبات حسابی به کار میرود و قاعده امتحان و تصحیح و قاعده خطائین، که به کمک آنها برخی مسائل جبری را میتوان به طریقه غیرجبری حل کرد، و همچنین جذر و کعب، کسرها و قاعده سه، را بارها تشریح کردند.

ب) هندسه :آثار نمایان معماری بین‌النهرین و مصر ما را بر آن میدارد که بگوییم آنان قواعد دقیقی در اندازه گیری داشته‌اند. مسّاحان ریسمان به دست مصری و نیایشگاهسازان، گویا شیوه تطابقی و انتقالی خاصی در نقل اضلاع و شکلها با میخ و طناب برای کشیدن دایره و خط راست بر شنها ابداع کرده بودند. این روش آنان را توانا ساخت که فرایندی هندسی در ساختمان دقیق با اسلوبی خاص برای ساختمانهایی نظیر اهرام بزرگ جیزه، که در 2600 پ م برپا شد، بیابند. در اینجا میتوان قیاس کرد که هندسه یونانی به منابع مصری و بین‌النهرین تا چه میزان استناد کرده است. نبوغ یونانی عبارت است از اینکه هندسه را به بستری دقیق و فکری مجرد و فارغ از مادّه و بیانی استدلالی انداخت. اوج خدمت یونان به هندسه که آن را به قالب استوار و علمی ریخت در کوششهای اقلیدس پایهگذار مکتب اسکندرانی در حدود 300 پ م در کتاب اصول هندسه جلوهگر شده است. نویسندگان عالم اسلامی در قرن دوم هجری از طریق ترجمه هایی که به امر هارون و مأمون، خلفای عباسی، در بغداد تدوین شد، با اصول اقلیدس آشنا شدند و کار مهم اعراب در هندسه بیشتر حفظ آن بود نه کشفیات جدید.

ثابت بن قره که اهل بین‌النهرین بود بزرگترین هندسهدان عرب محسوب میشود. وی هفت کتاب از هشت کتاب مخروطات آپولونیوس را به عربی برگرداند و رسائل بسیاری در اخترشناسی و هندسه نوشت. او آنچه را در آثار قدما مبهم بوده تشریح کرده و توضیح داده است. با مطالب و پیشنهادهای جدیدی مطالعه در علوم قدیم را سهل کرده است. وی در آثار خود تقریبآ از همه موضوعات علمی که در آن دوره مورد مطالعه بوده سخن به میان آورده و در رسائل خویش راجع به فرائض اصلیه و بدیهیات اقلیدس در هندسه و جراثقال بحث کرده است. برادران بنو موسی در ترجمه آثار اقلیدس و ارشمیدس و آپولونیوس با ثابت بن قره همکاری کردند و حسن بن موسی نخستین کسی است که زاویه را به سه قسمت متساوی تقسیم کرده بود. از دیگر اقدامات مسلمانان در هندسه آنکه، هندسه را با منطق تطبیق دادند چنان که در اوایل قرن پنجم هجری ابن هیثم کتابی تألیف کرد که برای نخستین بار اصول هندسی و عددی اقلیدس و آپولونیوس را در آن جمع کرد و آن را به چندین باب مرتب تقسیم کرد و با برهان و دلیل صحت آن را ثابت نمود به صورتی که موضوع مزبور جزء امور حسی منطقی تعلیمی در آمد و نقیصه‌های اقلیدس و آپولونیوس از آن مرتفع گشت؛ و بالاخره جنبهای از هندسه اسلامی که همواره بیگانگان را تحت تأثیر قرار داده، طرحهای بدیعی است که روی چوب، کاشی یا موزاییک ایجاد شده و به وفور در سراسر عالم اسلامی به چشم میخورد، مثلا" کاشیکاریهای منظم و ظریف و استثنایی که در الحمرای گرانادا (قرطبه) در اسپانیا دیده میشود تحسین جهانیان را برانگیخته است. چنین سنت صنعتگری با این پیچیدگی متضمن داشتن دانش هندسی فراوانی است، هر چند این دانش صرفآ از استادی به شاگردش رسیده باشد.

ج) نجوم (هیئت): علم نجوم و وابسته آن، احکام نجوم[1]  از طریق کتاب المجسطی بطلمیوس، از

یونانیان به جهان اسلام رسید همچنین مکتبی هندی بود که از کتاب سِدهانته به زبان عربی ترجمه شد و به نام سند هند نامیده شد.

مسلمانان علم نجوم را از یونان و هند و ایران و کلده و عرب جمعآوری و مدرن کردند و طبعآ در آن قسمت معلومات مهمی به دست آوردند. به چند علت، علم نجوم در اسلام مورد توجه بود: یافتن جهت قبله و تعیین اوقات نمازهای روزانه و وظیفه استخراج طالع برای امیران و فرمانروایان، که تقریبآ همیشه در کارهای خود از منجمان مشورت میطلبیدند، و نیز میل به تکمیل علم حرکت اجرام سماوی و حل کردن دشواریهای آن.

چنان که گفتیم محمد فزاری زیج[2]  سند هند را برای منصور به عربی ترجمه کرد و تا زمان مأمون زیج

مذکور مستند مسلمانان بود و در آن هنگام خوارزمی در بیتالحکمه بغداد زیجی دیگر تنظیم کرد که مشتمل بر آراء ستارهشناسان هند و روم و ایران بود. سه فرزند شاکر در علم نجوم شهرت بسیاری یافتند و از کارهای مهم آنان این بود که درجه خط نصفالنهار را برای مأمون مقیاس کردند. از دیگر علمای نامی هیئت در آن زمان، حنین بن اسحاق و ثابت بن قره، ماهانی، فرغانی، تبانی، بوزجانی، بیرونی و دیگران بودند و پیشوای علم هیئت در قرن هفتم خواجه نصیرطوسی بود.

خدمات مسلمانان به علم نجوم یا هیئت:

1. ترجمه کتب یونانی و هندی، اگر عربها کتابهای یونانی را به عربی ترجمه نمیکردند، اصولا" علم هیئت و نجوم از میان میرفت، زیرا اکنون میبینیم نسخه اصل یونانی آن کتابها موجود نیست و فرهنگیان در نهضت علمی خود از ترجمه‌های عربی استفاده کردند و البته این برای مسلمانان افتخار بزرگی است که با اقدامات مفید خود نگذاشتند علوم پیشینیان نابود شود.

2. مسلمانان موهومات مربوط به تنجیم را رد کردند و بیاساس بودن آن را اعلام داشتند.

3. مسلمانان راه‌های تازهای برای رصد پیدا کردند.

4. ابزارهای بسیاری اختراع کردند که از آن جمله ذاتالسمت و ارتفاع و ذاتالاوتار است.

5. ادخال ظل در محاسبات هیوی.

6. ترتیب زیجات حرکت سیارات.

7. تحقیقات کامل درباره میل منطقهالبروج و تناقص آن.

8. اکتشاف میزان تقویم اعتدالین.

9. تحقیق طول مدت سال، که در این مسئله مسلمین مقدم بر همه هستند.

10. مشاهده بینظمیهایی در فاصله ماه از آفتاب و کشف یک حرکت غیرمتشابه ثالثی که امروزه به نام تغییرات معروف است.

11. بیرونی نخستین کسی است که تسطیح کره را استنباط کرد و در کتاب خود آثار الباقیه آن را شرح داد.

12. شیخ شرفالدین طوسی اصلاحات بجایی در اسطرلاب کرد.

د) موسیقی: در صدر اسلام (قرنهای اول و دوم هجری) رامشگرانی چون طویس و ابن محرز و ابن مسجح که از حمایت دربار خلفای اموی در دمشق برخوردار بودند در سرزمینهای ایران و بیزانس به سیروسفر میپرداختند و ضمن آشنایی با موسیقی هر ولایت آن را با اوزان بومی خویش تطبیق میدادند. ابن مسجح گویا از نخستین سرایندگانی باشد که اصولی از موسیقی کهن عرب را به کتابت درآورد. بعدها فیلسوفانی مانند کندی شیوه‌های منظم و پیوسته تحلیل و تدوین موسیقی را بر اساس روشهای اقلیدس و اریستوخنوس و نیکوماخوس ترتیب دادند. موسیقی چنان پایگاه بلندی یافت که مکتوبات بسیاری در زمینه تاریخ شعر و موسیقی فراهم آمد که مشهورترین آنها عبارتاند از والعقد الفرید نوشته ابن عبدربه (متوفی 246 ق) و کتاب الاغانی در بیست و یک جلد نوشته ابوالفرج اصفهانی (متوفی 356 ق).

مسلمانان در ضمن ترجمه علوم بیگانه، کتابهای موسیقی یونان و هند را نیز ترجمه و آن را مطالعه کردند و مطابق ذوق خود تکمیل کردند، چنانکه از آهنگهای ایرانی و یونانی و هندی و عرب آهنگ تازهای پدید آوردند و علم مخصوصی درباره موسیقی تدوین کردند که جزو مآثر تمدن اسلامی است. موسیقیدانهای مسلمان علاوه بر اختراع آلات موسیقی جدید و ساختن آهنگهای تازه کتابهای سودمندی نیز در موسیقی تألیف کردند.

ه ) جبر :مسلمانان دو کتاب در علم جبر را از یونانی به عربی ترجمه کردند که یکی تألیف ذیوفانتس و دیگری تألیف ابرخس بود، ولی اکنون علمای فن تشخیص داده‌اند که دو کتاب مزبور چندان مهم نبوده و اساس علم جبر را مسلمانان وضع کرده‌اند. آنچه مسلم است آنکه، مسلمانان پس از اقتباس اعداد هندی علم جبر را وضع کردند. زیرا اثر نجومی برهماگوپتا یکی از آثاری بود که فضلای هندی برای منصور عباسی به ارمغان آوردند و این اثر را فزاری به عربی ترجمه کرد.

معروفترین تألیفات اسلامی در علم جبر کتاب جبر و مقابله خوارزمی است که ظاهرا" پس از اطلاع از علم جبر در یونان و ایران و هند، جبر عربی را استخراج کرد. اصطلاح عربی الجبر به معنی «الزام و اکراه» و نیز به معنی «جبران و شکستهبندی» است. کتاب المختصر فیحسابالجبر والمقابله چندین بار، به نام لیبر الگوریسمی؛ یعنی کتابالخوارزمی به لاتینی ترجمه شده است. کلمه الگوریسم[3]  ترجمه نام       

خوارزمی است به معنی حساب و محاسبه که روش محاسبه را از آن گرفته‌اند. ابوکامل مصری، کرجی، ابوالوفای بوزجانی، سرخسی، عمر خیام و کاشانی نیز تألیفاتی در علم جبر دارند.

و) مثلثات :کاملترین بحث مثلثات در یونان در المجسطی گنجانیده شده است که بطلمیوس منجم آن را در اسکندریه نگاشت. کلمه «المجسط» تحریف عربی کلمه مگیسته به معنی «بزرگترین» است. بطلمیوس در مجسطی جدولها و قواعدی را بیان میکند که این جدولها کل مثلثاتی بود که منجمان یونانی قدیم در اختیار داشتند.

از میان ریاضیدانان مسلمانی که در زمینه مثلثات تلاش کردند میتوان از حبیش حاسب، ابوالوفای بوزجانی، بیرونی، ابونصر منصور بن عراق و خواجه نصیرالدین طوسی یاد کرد.

حبیش حاسب از منجمانی بود که در کنف حمایت مأمون فعالیت میکرد و تردیدی نیست که او تابعهای مثلثاتی جیب (سینوس) و جیب تمام (کسینوس) و سهم و ظل اول (تانژانت) و ظل ثانی (کتانژانت) را به خوبی میشناخت و با مهارت کامل آنها را در محاسبات خود، در مثلثات کروی به کار میبرد. آثار او شامل 1. زیج، 2. کتاب فی معرفه الکره و العمل بها، 3. کتاب الدوائر الثلاث المماسه و کیفیه الاوصال (الاتصال) است. شاید بتوان استفاده از هر شش تابع مثلثاتی و اصلاحات انجام شده در استخراج فرمولهای مثلثات کروی را به مسلمانان منسوب کرد.

7. مهمترین نوآوری مسلمانان در ریاضیات

1) اعراب قبل از هر قومی شاگردان یونانیان محسوب میشوند ولی باید دانست که آنها به ادامه علوم یونان پرداخته و آن را نگهداری کردند، نشو و نمو دادند و در بعضی موارد نیز آن را تکمیل کردند.

2) آشنا ساختن مسلمانان و سپس اروپاییان با حساب و ارقام هندی (دستگاه شمار و سیستم عددنویسی) که امروزه رایج است و نیز به کار بردن این ارقام در ضمن محاسبات برای نخستین بار حاصل کار مسلمانان است. غربیها استفاده از اعداد عربی یا هندی و همچنین استفاده از صفر را از مسلمانان و به خصوص از خوارزمی آموختند و حتی کلمه صفر به همان صورت، وارد زبانهای اروپایی شد. این عدد (صفر) به صورت «صفیروم» و «صفرو» و «صرو» در ایتالیا و به صورت «شیفر» در فرانسه و «صیفر» در انگلستان و آلمان باقی مانده است. نتیجه این مطلب آنکه مسلمانان استعمال اعداد را به مردم آموختند، با آنکه خود مبتکر و سازنده آن نبودند. بدین طریق بانیِ حساب در زندگی روزانه شدند.

3) مسلمانان علم جبر را گسترش دادند و به آن نظم و ترتیب علمی بخشیدند و نویسنده کتاب الجبر و المقابله یعنی خوارزمی را میتوان یکی از بنیانگذاران علم جبر به مثابه رشتهای متمایز از هندسه شمرد. خوارزمی جبر را به منزله یک فن اختراع نکرد و آن را یا از یونانیان یا به احتمال قویتر از هندیها برگرفت. ولی دستاورد او این بود که جبر را چنان وضوح بخشید و چنان شیوا بیان کرد که استفاده از آن معمول شد.

4) پرداختن به اصل پنجم اقلیدس و کوشش برای اثبات آن. این کار از یونان باستان آغاز شد و تا اواخر قرن نوزدهم میلادی ادامه یافت. بدین ترتیب، مسلمانان مقدمات هندسه فضایی را فراهم کردند.

5) فراهم آوردن نخستین جداول توابع مثلثاتی و به کار بردن ظل معکوس به عنوان تابع مثلثاتی مستقل و استفاده منظم از آن. بتانی، ریاضیدان مسلمان، نسبت مثلثاتی سینوس را به دست آورد. او نسبت مخالف آن، کسینوس را نیز به کار برد. ابن یونس نیز قضیه سینوس را کشف کرد که تا امروز نیز در مورد مثلثهای واقع بر سطوح کروی به کار میرود.

6) عدد p (پی) را غیاثالدین جمشید کاشانی با دقتی که تا مدتها همتایی نیافت محاسبه کرد.

7) حل معادلات درجه سوم به همت خیام، کاشانی و تحقیقات فراوان در علم مخروطات.

8) ادخال ظل در مثلثات. خواجه نصیر طوسی نخستین کسی است که حالات ششگانه مثلث کروی قائمالزاویه را در کتاب الشکل القطاع به کار برد.

9) مسلمانان با تلفیق جبر و هندسه، اصول هندسه تحلیلی را به وجود آوردند. آنها نخستین کسانی بودند که برای حل بعضی از مسائل هندسی از جبر، و برای حل بعضی از مسائل جبری از هندسه استفاده کردند.

10) امتحان 9 به 9، قاعده دو خطا، قضایای بیرونی در حساب شطرنج، مسئله کوچکترین مقیاس و مثلث حسابیِ خیام و بسط دو جملهایِ خیام از ابتکارات مسلمانان در حساب است.

11) مثلثات مسطحه و مجسمه را تکمیل کردند، و برای توابع مثلثاتی جدولهای صحیح فراهم آوردند و چند تابع مثلثاتی را کشف کردند. از این گذشته، با آنکه علم مثلثات از آغاز پیدایش همراه با علم نجوم رشد و توسعه پیدا کرده بود، نخستین بار نصیرالدین طوسی در کتاب شکل القطاع آن را به حد کمال رساند و به مثابه علم مستقلی مطرح کرد و این خود پیشرفت بزرگی را در ریاضیات نشان میدهد.

12) اختراع، اثبات و به کار بردن شکل (قضیه)، مُغنی (قضیه سینوسها) به جای شکل قطاع در مثلثات مسطحه و کروی به همت ابونصر عراق و نیز اختراع و اثبات قضیه تانژانتها با کاربردی مشابه به دست ابوالوفای بوزجانی.

13) حل دستگاه‌های معادلات سیاله تا درجه نهم و تا 4 معادله و 7 مجهول که کرجی آن را به دست آورد.

14) پرداختن به برخی مسائل کلاسیک ریاضیات از قبیل تربیع دایره، تثلیث زاویه، تسبیع، تَتسیع دایره (رسم 7 ضلعی و 9 ضلعی منتظم).

8. استفاده اروپاییان از ریاضیات اسلامی

در قرن دهم میلادی که کشورهای مسلمان در اوج تعالی فرهنگ و تمدن بودند در اروپا، به غیر از اندلس، کشوری نبود که در آنجا تحصیل علوم ممکن باشد. حتی قسطنطنیه هم از علوم محروم بود. در این عصر اشخاصی که در آنها شوق تحصیل بود ناچار به طرف اندلس رهسپار شدند. مثلا" گربرت[4]  در سال 999 میلادی تحصیلاتی کرد و به نام سیلوستر دوم مقام پاپی را به دست آورد، ولی وقتی که خواست علومش را در اروپا انتشار دهد این مطلب در نظر مردم چنان خلاف طبیعت جلوه کرد که او را متهم کردند که شیطان در جسم او حلول کرده و از طریق خداوند خارج شده است.

با گذشت زمان، اهالی مغرب زمین با ایجاد روابط با مسلمانان سیسیل، اسپانیا و شرق، ریاضیاتی را که تا آن زمان برایشان روشن نبود، فرا گرفتند. سیاحان، سپاهیان جنگهای صلیبی، یهودیان اسپانیا و ایتالیا و تاجرها، نقش اساسی را در ترقی جدید علم به عهده داشتند. چنان که در سال 1130 م دارالترجمه‌ای در طلیطله با ریاست اسقف اعظم، رایمون، تأسیس شده و تمام کتب مشهور عربی را به لاتینی ترجمه کرد. این ترجمه ها تأثیر فوقالعادهای در پیشرفت فرهنگ و علم کشورهای اروپایی داشته است. مثلا" در قرن دوازدهم رساله حساب و جبر خوارزمی به لاتین ترجمه شد و ارقام هندسی 0 و 1 و 2 تا 9 در اروپای غربی مورد قبول قرار گرفت و به نام ارقام عربی نامیده شد. تقریبآ در همین زمان آثار فارابی، ابوکامل، ابن هیثم و ابن سینا نیز ترجمه شد.

در قرن دوازدهم مقدمات اقلیدس، مجسطی بطلمیوس، آپولونیوس و سایر دانشمندان یونان قدیم از عربی به لاتینی برگردانده شد. در این زمان در اسپانیا، ایتالیا و جنوب فرانسه مدارس کاملی به ترجمه آثار عربی مشغول بودند. کتاب آباک لئوناردو فیبوناتچی قرن سیزدهم میلادی تحت تأثیر ابوکامل نوشته شد و مسائل فراوانی در جبر و حساب را از او تقلید کردند. همچنین رژیو مونتان در قرن 15 م در کتاب پنج کتاب درباره انواع مثلثها از آثار بتانی و طوسی استفاده کرد. در قرن 15 م تماس بین دانشمندان مشرق زمین و اروپا بیشتر شد. در این زمان جداول نجومی به زبانهای لاتین ترجمه شد و اصطلاحات «مثبت» و «منفی» قوشچی در اروپا به کار رفت. در همین زمان در اروپا بحثی که طوسی درباره اقلیدس کرده بود شناخته شد و اروپاییان با نظریات خیام و طوسی درباره تشکیل نسبتها و خطوط موازی آشنا شدند.

منابع

1.                . آرام، احمد، علم در اسلام، تهران، انتشارات صدا و سیمای جمهوری اسلامی ایران، 1366ش.

2.                . آرنولد، سرتوماس، و آلفرد گیوم، میراث اسلام، ترجمه مصطفی عَلَم، انتشارات کتابفروشی مهر.

3.                . ابراهیمحسن، حسن، تاریخ سیاسی اسلام، ترجمه ابوالحسن پاینده، تهران، انتشارات جاویدان، 1371ش.

4.                . امیر، مسعود، درآمدی بر فلسفه ریاضی، مؤسسه تحقیقاتی علوم اسلامی، دانشگاه تبریز، 1381ش.

5.                . ایوز، هاورد، آشنایی با تاریخ ریاضیات، ترجمه محمدقاسم وحیدی اصل، تهران، مرکز نشر دانشگاهی، 1363ش.

6.                . برگرن، جی. ال.، گوشه هایی از ریاضیات دوره اسلامی، ترجمه محمدقاسم وحیدی و علیرضا جمالی، تهران، انتشارات فاطمی، 1373ش.

7.                . تاتون، رنه، تاریخ حساب، ترجمه پرویز شهریاری، تهران، امیرکبیر، 1364ش.

8.                . جعفری، یعقوب، مسلمانان در بستر تاریخ، تهران، دفتر نشر فرهنگ اسلامی، 1371ش.

9.                . حکمت، علیرضا، آموزش و پرورش در ایران باستان، تهران، انتشارات مؤسسه تحقیقاتی و برنامهریزی علمی و آموزشی.

10.           . حکیمی، محمدرضا، دانش مسلمین، تهران، دفتر نشر فرهنگ اسلامی.

11.           . دایرهالمعارف فارسی، به سرپرستی غلامحسین مصاحب، انتشارات فرانکلین، 1345ش.

12.           . دورانت، ویل، مشرق زمین گاهواره تمدن، ترجمه احمد آرام، و امیرحسین آریانپور، انتشارات علمی و فرهنگی، 1365ش.

13.           . دهخدا، علیاکبر، لغتنامه، زیر نظر دکتر معین و دکتر شهیدی، انتشارات دانشگاه تهران، 1334ش.

14.           . رنان، کالین ا.، تاریخ علم کمبریج، ترجمه حسن افشار، تهران، پنگوئن.

15.           . ریاضیات در شرق، ترجمه پرویز شهریاری، تهران، خوارزمی، 1352ش.

16.           . زیدان، جرجی، تاریخ تمدن اسلام، ترجمه علی جواهر کلام، تهران، امیرکبیر، 1369ش.

17.           . السعید، عصّام، و عایشه پارمان، نقشهای هندسی در هنر اسلامی، ترجمه مسعود رجبنیا، تهران، سروش، 1363ش.

18.           . صفا، ذبیحالله، تاریخ ادبیات در ایران، تهران، انتشارات فردوسی، 1366ش.

19.           . فرشاد، مهدی، تاریخ علم در ایران، تهران، امیرکبیر، 1366ش.

20.           . فرّوخ، عمر، تاریخ العلوم عندالعرب، دارالعلم للملایین، 1390ق.

21.           . قربانی، ابوالقاسم، زندگینامه ریاضیدانان دوره اسلامی، تهران، مرکز نشر دانشگاهی، 1365ش.

22.           . کارا دو وو، بارون، متفکران اسلام، ترجمه احمد آرام، دفتر نشر فرهنگ اسلامی، 1359ش.

23.           . کرامتی، یونس، کارنامه ایرانیان، تهران، انتشارات مؤسسه فرهنگی اهل قلم، 1382ش.

24.           . لوبون، گوستاو، تمدن اسلام و عرب، ترجمه سیدمحمد تقی فخر داعی گیلانی، بنگاه مطبوعاتی علیاکبر علمی، 1334ش.

25.           . مصطفوی، جلال، استفاده دانشمندان مغرب زمین از جبر و مقابله خیام، تهران، انجمن آثار ملی، 1339ش.

26.           . معین، محمد، فرهنگ فارسی معین، تهران، امیرکبیر، 1375ش.

27.           . میهلی، آلدو، علوم اسلامی و آثار عظیم آن در تحول علوم جهانی، تلخیص آیتالله علامه نوری، انتشارات نوید نور، 1383ش.

28.           . نامه دانشوران ناصری، مؤسسه مطبوعاتی دارالفکر.

29.            . نصر، سیدحسین، علم و تمدن در اسلام، ترجمه احمد آرام، انتشارات نشر اندیشه، 1350ش.

سایت منبع:                                           http://www.elib.hbi.ir/persian/ISLAMIC-CULTURE&CIVILIZATION/200-LECTURE/169.htm